Mám také tento problém (2012 Mac se systémem El Capitan 10.11.5). neměl jsem tento problém na mém Mac Mini 2007 s 10.6.8 s podobnou konfigurací (kromě použití DVI místo HDMI). Když zavřu sdílení obrazovky Mac nebo TouchPad na iOS nebo přepnu aplikace pro iOS nebo uzamknu telefon, Mac Mini vypne externí video.
Řešení, které jsem našel, je:
Po spuštění videa, před ukončením sdílení obrazovky, stiskněte na dálkovém ovladači Apple Remote (fyzické infračervené dálkové ovládání - nikoli aplikace) pauza / přehrávání. Pak byste měli být schopni zavřít sdílení obrazovky a obrazovka zůstane zapnutá. Také jsem to udělal s bluetooth myší Apple a funguje to také.
Toho můžete dosáhnout také probuzením Mac Mini pomocí dálkového ovladače před zahájením sdílení obrazovky, pokud si pamatujete. Je to nepříjemné, protože se často otevře a začne hrát iTunes.
Zdá se, že Mac po probuzení potřebuje nějaký vstup z fyzického zařízení (myši nebo dálkového ovladače), aby zabránil přepnutí obrazovky do režimu spánku.
Vyzkoušejte také zaškrtávací políčko Vzdálená správa, abyste zjistili, zda to pomáhá.